Matemática

[MrBrown]

O mendel não "adulterou" os "resultados", [] ( compreendo o que estás a dizer, e é QUASE isso)

Ele verificou que havia espécies que se regiam pelas regras por ele descobertas e outras que não, pelo que optou por utilizar apenas espécies que eram "mendelianas" Dentro destas, existiam espécies que apresentavam características epigenéticas pelo que também optou por as descartar para que ficassem bem demonstrados os princípios genéticos que ele queria evidenciar...

Mendel foi o pioneiro da genética, o primeiro a demosntrar cabalmente a hereditariedade, e o modo básico como esta funciona

Hoje em dia em laboratório, apesar dos conhecimentos ENORMES que entretanto de adquiriram sobre genética, mendeliana ou não, os princípios de mendel, para várias espécies, são validos, pelo que muitos dos exames genéticos que se fazem para despistagem de doenças genéticas, para verificar mutações, ou para despistar doenças metabólicas usam esses princípios a uma escala muito mais complexa.

A matemática/estatística aplicada á Biologia é exactamente a mesma aplicada a qualquer outro campo das ciências aplicadas, é uma ferramenta universal, muda apenas o objecto, com a ressalva, face á matemática pura, de adaptarmos o modelo aos dados ( biologia, física, etc...) e não os dados ao modelo ( matemática pura do estudo de modelos).

O processo que levou a sequenciação do genoma humano, e de todos os outros já sequenciados, é um misto de genética pura com (bio)estatística, (bio)informática, e (bio)física. Sem estas ferramentas ainda so tinhamos sequenciado 25% do genoma a custos astronomicos[].

PS: deculpem o "quase" offtopic

Bem, quanto ao Mendel, eu disse que li algures, se não me engano. Não me lembro ao certo visto que ja foi ha uns anos, e muito menos tenho fontes. (nem que tivesse, não fazia finca pé no assunto []). Se não me engano foram uns cientistas que afirmaram que não era possível verificar experimentalmente com os números que ele conseguiu, pelo menos uma das experiências dele. As limitações eram físicas, e não matemáticas se me entendes. Mas lá está...o homem tava certo (pelo menos no que eu sei), a partir daí...

Quanto ao resto...não podias estar mais certo (a meu ver, claro, estou longe de saber alguma coisa). Na verdade, a matemática aplicada a TUDO é a mesma! No fundo, biologia é química, mas mais complexa, química é física, mas mais complexa, e fisica não passa de matemática, mas mais complexa. Esta lógica levou muitos cientistas matemáticos a julgarem possível encontrar a fórmula do tudo, ou seja, se tudo é matemática, e pelo menos até à parte da física podemos explicar um movimento (por exemplo) através de uma fórmula (e se soubermos essa formula podemos saber qualquer posição ou estado do corpo em estudo, no passado, no presente, ou no futuro), então tem que ser possível explicar tudo (TUDO) através de uma fórmula matemática apenas. Já imaginaram? E se essa formula existe, e há muitos génios a dizerem que exites, então é possível determinar tudo, o passado, o presente e o futuro (e daqui vem uma ideia muito rebuscada de que se há uma fórmula, logicamente o futuro está determinado, apenas não o sabemos porque não sabemos a fórmula). E entre os matemáticos que foram levados à loucura por tal ideia, alguns tiveram rasgos geniais, de onde saíu, por exemplo a teoria do caos e outros tantos teoremas que são de uma matemática tão complexa, e às vezes tão básica, que mais parece filosofia!

 

[ClioII]

Que diz que sabemos que uma já caiu!

Hum, vou tentar pôr isto o melhor que posso.

O enunciado diz-nos que ambas já caíram (ou seja, a experiência já se encontra concretizada). Depois da queda, pelo menos uma ficou virada para baixo.


Imagina o seguinte.

Estás de costas para a mesa onde tem um prato com as duas torradas.

O teu ajudante na experiência atira as torradas ao chão (e tu sempre de costas, sem ver as torradas).

O ensaio está, portanto, concretizado. Tu ainda não sabes o resultado.

O ajudante, em vez de te dizer o resultado, informa só desta particularidade: "pelo menos uma delas caiu com a face para baixo".

Vai daí, tu fazes mentalmente uma figura como a que fiz acima e chegas à mesma conclusão.

Espero ter ajudado.

 

[blink]

Para o das torradas, claro que é 33%.

Aparentemente, o universo de eventos possíveis é {00,01,10,11} todos com probabilidades iguais (1/4=25%).
Mas na realidade, como sabemos que pelo menos uma ficou virada para baixo, o universo de eventos possíveis é {01,10,11}, claro, todos com a mesma probabilidade de saírem (1/3=33%). O evento "11" terá os seus 1/3 de probabilidades de sair....

 

[arosario]

Vocês não devem ler o que eu escrevo...lol

Já disse duas vezes que concordo plenamente com o vosso raciocínio se no enunciado, ou se o meu ajudante, ou fosse quem fosse dissesse "pelo menos uma caiu com a manteiga para baixo". Aí aplica-se a vossa resolução, e dá 33.3%. Ponto.

Mas no enunciado não diz "pelo menos uma..." mas sim "uma caiu...qual a probabilidade de a outra também cair?"
É só isso que estou a "defender", que a vossa resolução não se aplica e este enunciado da maneira que ele foi posto.

Mais uma vez digo, que esta é apenas a minha opinião e estou a defendê-la, não sou matemático, nem dono da verdade [] mas sinceramente acho que a minha interpretação é a mais correcta e sinceramente, a única possível.

 

[MrBrown]

Em honra do simultâneamente interessado e céptico Mr.Brown [], bem como dos restantes membros do AHO suficientemente destemidos para discutir estes assuntos, garatujei a figura seguinte.

O caso de interesse (ambas as torradas viradas para baixo) está assinalado com um X.

A solução do problema (figura inferior) resulta da junção dos casos possíveis das duas figuras na parte superior.

Ver anexo 45037

Bom, desde já o meu muito obrigado da minha parte! Até me sinto mal pelo que vou dizer de seguida, porque de um certo modo receio que alguém interprete que desvalorizo o trabalho que tiveste. Portanto, fica desde já esclarecido que não é nada disso, muito pelo contrário.

As duas primeiras figuras, penso que são incontestáveis. Já a 3ª figura não é dedutível em nenhuma das situações do problema. Quando chegas a essa fase do problema apenas tens um caso simples de (casos favoráveis)/(casos possíveis), a mais básica das probabilidades (e não tenciono ser insultuoso com isto). Se todos concordamos que o caso favorável é apenas 1, caír com a manteiga virada para baixo, quantos são, no vosso parecer os casos possíveis?
Eu leio dois, como já disse.
Prometi a mim mesmo não me alongar mais neste problema, temendo a possibilidade de começar a fazer copy-paste de posts anteriores. Mais uma vez: o enunciado não dá margem para dúvidas...é ler e reler até sentir que os 50% estão bem calcados na mioleira.

Só mais uma coisa. Caso eu tivesse a mais minúscula dúvida naquilo que estou a dizer...simplesmente não o diria. Obviamente que analisei o melhor que sei todas as hipóteses aqui colocadas, e continuo certo, como no início, de que a resposta é 50%. Não teria problemas nenhuns em admitir que errei, ou que não percebi, não seria a primeira vez que me acontecia e certamente não seria a última. Visto o facto de eu não mudar de opinião não ser devido a "casmurrice" têm que pensar que, muito simplesmente, eu posso não ser suficientemente inteligente para perceber a pergunta (ninguém está a salvo, e não estou a ser irónico).

A resposta à pergunta é 50%. (tinha que acabar assim, claro)[]

 

[ClioII]

Vocês não devem ler o que eu escrevo...lol

[...]

Mas no enunciado não diz "pelo menos uma..." mas sim "uma caiu...qual a probabilidade de a outra também cair?"

Lemos, lemos... []

A tua noção do enunciado está diferente daquilo que o Jacaré escreveu.

Duas torradas cairam no chão. Cada uma delas tinha uma das faces barrada com manteiga.

Sabemos que uma das torradas caiu com a face barrada no chão.
Qual a probabilidade de a outra torrada ter caído com a face barrada no chão?

Enquanto tu dizes "uma caiu...qual a probabilidade de a outra também cair?" (ou seja, a outra ainda não caiu) o Jacaré diz "de a outra torrada ter caído" (ou seja, já caiu, já se concretizou).

Ou seja, estamos aqui a confundir probabilidades "à priori" e "à posteriori" (sim, são coisas diferentes).

 

[blink]

Vocês não devem ler o que eu escrevo...lol

Já disse duas vezes que concordo plenamente com o vosso raciocínio se no enunciado, ou se o meu ajudante, ou fosse quem fosse dissesse "pelo menos uma caiu com a manteiga para baixo". Aí aplica-se a vossa resolução, e dá 33.3%. Ponto.

Mas no enunciado não diz "pelo menos uma..." mas sim "uma caiu...qual a probabilidade de a outra também cair?"
É só isso que estou a "defender", que a vossa resolução não se aplica e este enunciado da maneira que ele foi posto.

Mais uma vez digo, que esta é apenas a minha opinião e estou a defendê-la, não sou matemático, nem dono da verdade [] mas sinceramente acho que a minha interpretação é a mais correcta e sinceramente, a única possível.

Não percebo onde está a dúvida. O enunciado parece-me claro. Não diz "uma caiu" diz "sabemos que uma caiu"....

Mais um problema de matemática:

Duas torradas cairam no chão. Cada uma delas tinha uma das faces barrada com manteiga.

Sabemos que uma das torradas caiu com a face barrada no chão.
Qual a probabilidade de a outra torrada ter caído com a face barrada no chão?

 

[ClioII]

Bom, desde já o meu muito obrigado da minha parte! Até me sinto mal pelo que vou dizer de seguida, porque de um certo modo receio que alguém interprete que desvalorizo o trabalho que tiveste. Portanto, fica desde já esclarecido que não é nada disso, muito pelo contrário.

Nem eu tinha imaginado outra coisa.
O meu comentário inicial era brincadeira, não era sarcasmo.

As duas primeiras figuras, penso que são incontestáveis. Já a 3ª figura não é dedutível em nenhuma das situações do problema. Quando chegas a essa fase do problema apenas tens um caso simples de (casos favoráveis)/(casos possíveis), a mais básica das probabilidades (e não tenciono ser insultuoso com isto).

Não percebo porque dizes isso. Se o problema diz especificamente que "pelo menos uma caiu com a face para baixo" tanto pode ser uma, como a outra, como ambas. E estes três casos estão a vermelho.

 

[MrBrown]

...

Ou seja, estamos aqui a confundir probabilidades "à priori" e "à posteriori" (sim, são coisas diferentes).

Tanto dá. []
Na verdade, quando o problema começa já ambas caíram. Mas isso não afecta o problema. Posso pôr o enunciado todo no futuro ("Duas torradas caírão no chão. sabendo que uma delas cairá com a face barrada para baixo, qual a probabilidade da outra vir a caír com a face barrada para baixo?". E por vossa causa já tenho um pó a torradas que nem imaginam...[8b]

[]

 

[ClioII]

Imaginem que o problema em vez de torradas eram moedas. Ficava mais ou menos assim.

Lançaram-se duas moedas ao ar. Depois de ambas caírem soube-se que pelo menos uma delas deu "coroa". Sabendo isto, qual a probabilidade de ambas serem "coroa"?



Pergunta extra: o problema tem alguma diferença nestas condições:

- Ambas as moedas são de Euro;
- Uma moeda é de Euro e outra de Libra;

Eu diria: o problema é rigorosamente o mesmo, mas ajuda a pensar que as moedas são diferentes (uma de Euro e outra de Libra).

 

[MrBrown]

Vai a um café. Pede duas torradas e atira-as para lá do balcão. Ignora o olhar que toda a gente te está a fazer e dirige-te ao empregado: "Ó amigo, diga-me daí para que lado caíu uma das torradas!"
Sai do café, e vai para casa a pensar para que lado terá ficado virada a outra.
E se tivesses lançado só uma (e não tivesses falado com o empregado, claro)?

[]

 

[arosario]

Lendo e relendo e voltando a reler o enunciado, vou dar o braço a torcer... Eu "lia" que uma já tinha caído e a outra ia cair a seguir...mas ok, admito que se pode pode ler que ambas cairam ao mesmo tempo e que a solução dá os tais 33.3%...

Ainda não estou 100% convencido...lol mas este problema é como o das portas...demora algum tempo a "assentar"...

Agora tenho que me ausentar cerca de 2h...venho já ver como isto anda..

 

[ClioII]

Vai a um café. Pede duas torradas e atira-as para lá do balcão. Ignora o olhar que toda a gente te está a fazer e dirige-te ao empregado: "Ó amigo, diga-me daí para que lado caíu uma das torradas!"
Sai do café, e vai para casa a pensar para que lado terá ficado virada a outra.
E se tivesses lançado só uma (e não tivesses falado com o empregado, claro)?

[]

Brincalhão! []

Olha, vê a minha mensagem anterior em que ponho o problema com moedas.

Sempre dá para não ficar ninguém a olhar para nós no café... e poupa-se o dinheiro das torradas! []

Pior: imagina que as torradas vinham partidas cada uma em 3 "palitos", como é costume? Eia!, que granel dos diabos... []

 

[MrBrown]

Lendo e relendo e voltando a reler o enunciado, vou dar o braço a torcer... Eu "lia" que uma já tinha caído e a outra ia cair a seguir...mas ok, admito que se pode pode ler que ambas cairam ao mesmo tempo e que a solução dá os tais 33.3%...

Ainda não estou 100% convencido...lol mas este problema é como o das portas...demora algum tempo a "assentar"...

Agora tenho que me ausentar cerca de 2h...venho já ver como isto anda..

Eu vou-te dizer os 33.3%...estou tramado com esta gente! [8b]
E pronto...assim fico "sozinho". []
Sozinho mas certo, hehe, melhor que acompanhado e errado! [] :sh)

Agora também me vou ausentar, se não fosse pedir demais alguem podia meter outro problema que não envolva torradas e que a resposta não seja 33% nem 50%...se não eu pergunto um ao meu barbeiro...[]

 

[MrBrown]

Brincalhão! []

Olha, vê a minha mensagem anterior em que ponho o problema com moedas.

Sempre dá para não ficar ninguém a olhar para nós no café... e poupa-se o dinheiro das torradas! []

Pior: imagina que as torradas vinham partidas cada uma em 3 "palitos", como é costume? Eia!, que granel dos diabos... []

MEDO, só como torradas pró ano...[]

 

[UmDois]

http://www.jornaldenegocios.pt/index.php?template=SHOWNEWS&id=350874

Desafios matemáticos

 

[mjm]

Resumindo:

Quando cai uma torrada no chão as probabilidades de cair com a parte barrada (1) no chão ou a parte seca (0) no chão é a mesma: 50%

Quando caem duas torradas, as probabiliades de AMBAS serem 1 , 1 é de ~33,3%

Se eu deixar cair duas torradas e saber que uma delas saiu 1, então sei que tenho ~33% de probabilidades de a outra ser também 1

Simples! ou não... []

Só agora tomei mais atenção a este tópico e apesar de ler um pouco na diagonal...

Essa resposta não está correcta, assumindo que os casos

• cair com a parte barrada (1)

• no chão ou a parte seca (0)

são equiparáveis...

Neste caso, se lançares uma torrada, (0) e (1) têm 50% de hipóteses, mas

Se forem duas, a probabilidade de AMBAS serem 1 , 1 é de 25%, há uma possibilidade em quatro possíveis, simples aplicação da Lei de Laplace...

Do que escrevi tenho 100% de certeza...[]

 

[mjm]

Vamos visualizar as probabilidades que temos com as 2 torradas caírem no chão:

A questão inicial:

Duas torradas (A e B) cairam no chão. Cada uma delas tinha uma das faces barrada com manteiga. (1 e 0)


temos então estas hipóteses:

A1 - B1
A1 - B0
A0 - B1
A0 - B0

Até aqui concordamos certo?

Depois aparece:

Sabemos que uma das torradas caiu com a face barrada no chão.

Assim as hipóteses resumem-se a:

A1-B1
A1-B0
A0-B1

A0-B0 é falso pois sabemos que pelo menos uma delas caiu com a face no chão! Creio que não há dúvidas.... certo?

depois:
Qual a probabilidade de a outra torrada ter caído com a face barrada no chão?

Não sabemos se "a outra" é a A ou a B.. na realidade não sabemos quais das torradas especificamente falamos, mas sabemos que "a outra" pode ser A ou B!



1) Se "a outra" torrada for a A temos as seguintes possibilidades:

A1-B1
A0-B1

Ou seja 50%


!!!2) No entanto "a outra" TAMBÉM pode ser a torrada B!!!
A1-B0
A1-B1

Ou seja 50%

Mas é aqui que falhas (na realida 98% falham) []

Como não sabemos se "a outra" é a A ou a B e confirmando as combinações possíveis temos:

1) A1-B1
2) A0-B1
3) A1-B0

Assim e olhando para TODAS as hipóteses possíveis temos que apenas o ponto 1) A1-B1 é possivel!

Ou seja 33,3333333% de probabilidades de "a OUTRA" cair também com a face barrada no chão.


















E agora? []

...

Concordo.

Na resposta anterior, respondi à tua explicação que estava incorrecta... desconhecendo o enunciado original sobre o facto de já sabermos o que aconteceu a uma delas (é o que dá ler na diagonal)... ou seja, passamos para um problema de probabilidade condicionada...

E neste caso, esta última explicação está correcta ao contrário da primeira.[]

 

[mjm]

Então agora podemos passar à seguinte.... e já velha:

Um homem tem 2 filhos... uma outra mulher tem também dois filhos. (O Homem e a Mulher não têm qualquer ligação entre si!)

Sabemos que o filho mais velho do homem é um rapaz. Sabemos que um dos filhos da senhora é um rapaz.

Quais as probabilidades do outro filho do homem ser também um rapaz?
Quais as probabiliades do outro filho da senhora ser também um rapaz?

As probabilidades são as mesmas?

[]

Sei que já colocaste isto antes e que o problema foi discutido noutros posts, mas confesso que na altura tanto ignorei o problema como as respostas (estava a pensar em torradinhas).

Agora que já estou "batidinho" no problema das torradas, diria assim sem pensar muito no assunto:


Sabemos que o filho mais velho do homem é um rapaz.
Quais as probabilidades do outro filho do homem ser também um rapaz?

Das 4 hipóteses do acontecimento conjunto, duas são logo eliminadas - há um, bem especificado, que sabemos de antemão que é rapaz. Sobram só duas hipóteses. Sabendo que são equiprováveis, dá 50% de probabilidade de o outro ser tb rapaz.

Sabemos que um dos filhos da senhora é um rapaz.
Quais as probabiliades do outro filho da senhora ser também um rapaz?

Aqui podemos substituir "filho" por "torrada" e substituir tb "rapaz" por "manteiga virada para baixo". A probabilidade é de 33% seguindo o raciocínio já explanado para as torradas.

Se o enunciado é mesmo este, verifico que existem duas perguntas independentes.

• Um homem tem 2 filhos... . Sabemos que o filho mais velho do homem é um rapaz.

Quais as probabilidades do outro filho do homem ser também um rapaz?

• uma outra mulher tem também dois filhos. Sabemos que um dos filhos da senhora é um rapaz.
  

Quais as probabiliades do outro filho da senhora ser também um rapaz?


Neste caso é 50% para o primeiro caso, pois sabemos identificar que o mais velho é rapaz e 33% para o segundo pois não sabemos qual dos filhos é rapaz, pode ser o mais novo ou o mais velho...[]

 

[Jacare]

Só agora tomei mais atenção a este tópico e apesar de ler um pouco na diagonal...

Essa resposta não está correcta, assumindo que os casos

• cair com a parte barrada (1)

• no chão ou a parte seca (0)

são equiparáveis...

Neste caso, se lançares uma torrada, (0) e (1) têm 50% de hipóteses, mas

Se forem duas, a probabilidade de AMBAS serem 1 , 1 é de 25%, há uma possibilidade em quatro possíveis, simples aplicação da Lei de Laplace...

Do que escrevi tenho 100% de certeza...[]

Tens toda a razão!

Os 33% seriam se excluissemos a hipótese de ambas as torradas ficassem para cima. De qualquer maneira espero ter-me redimido com a explicação seguinte.