Dúvida Matemática 12º

[stonner]

Olá, eu gostava de tirar aqui uma duvida nas derivadas.

Por exemplo existe uma situação no estudo de uma funçao que para se calcular algo tem que se recorrer à definiçao de derivada e não se pode ir pelas regras de derivação. Que situação é essa? Obrigado.

 

[Bj40]

Olá, eu gostava de tirar aqui uma duvida nas derivadas.

Por exemplo existe uma situação no estudo de uma funçao que para se calcular algo tem que se recorrer à definiçao de derivada e não se pode ir pelas regras de derivação. Que situação é essa? Obrigado.

Do pouco que me lembro e de como faziam na altura, acho que só quando te pedem, mas não tenho a certeza. []

 

[momentos]

Olá, eu gostava de tirar aqui uma duvida nas derivadas.

Por exemplo existe uma situação no estudo de uma funçao que para se calcular algo tem que se recorrer à definiçao de derivada e não se pode ir pelas regras de derivação. Que situação é essa? Obrigado.

O que te podem PEDIR no exame é para calculares o limite pela função de derivada.

Pegas na definição de derivada e é só aplicares. Existem duas definições de derivada, mas tens de ver a qual se adequa mais ao contexto da função apresentada.
[]

 

[stonner]

O que te podem PEDIR no exame é para calculares o limite pela função de derivada.

Pegas na definição de derivada e é só aplicares. Existem duas definições de derivada, mas tens de ver a qual se adequa mais ao contexto da função apresentada.
[]

Mas há uma situação em que tem que se utilizar a derivada e não se pode lá ir pelas regra de derivação mas sim através da formula da der lim h->0 f(x+h) - f(x) / h , ou da outra.

 

[NaoInteressa]

Mas há uma situação em que tem que se utilizar a derivada e não se pode lá ir pelas regra de derivação mas sim através da formula da der lim h->0 f(x+h) - f(x) / h , ou da outra.

Só usas a fórmula de derivada quando te pedem.

As formúlas são:

lim ..... f(x) - f(a)
x-> a ..... x-a


ou

lim ...... f(a+h) - f(a)
h-> 0 .......... h

 

[ElGamal]

Mas há uma situação em que tem que se utilizar a derivada e não se pode lá ir pelas regra de derivação mas sim através da formula da der lim h->0 f(x+h) - f(x) / h , ou da outra.

por exemplo, se a tua função está definida por ramos. tens que ver, pela definição, o que se passa no ponto de ruptura.

exemplo.
f:IR -> IR
com f(x)= x^2 se x<0, -x^2 caso contrário.

podes usar as regras de derivação no interior de cada ramo.
f'(x)=2x se x<0, -2x se x>0.

falta ver o que se passa para x=0.
aqui tens que usar a definição, calculando o limite à esquerda e à direita de 0.

no caso x=0 NÃO PODES usar o outro método que não seja pela definição.

 

[GaLLardO]

a primeira derivada de uma função usa-se para saber se a função é crescente ou decrescente. assim consegues saber os máximos e os mínimos. a segunda derivada usa-se para encontrar o vértice da função e saber para que lado está a concavidade. se é positiva ou negativa

 

[stonner]

por exemplo, se a tua função está definida por ramos. tens que ver, pela definição, o que se passa no ponto de ruptura.

exemplo.
f:IR -> IR
com f(x)= x^2 se x<0, -x^2 caso contrário.

podes usar as regras de derivação no interior de cada ramo.
f'(x)=2x se x<0, -2x se x>0.

falta ver o que se passa para x=0.
aqui tens que usar a definição, calculando o limite à esquerda e à direita de 0.

no caso x=0 NÃO PODES usar o outro método que não seja pela definição.

Exactamente bem me parecia que havia um caso em que não se podia lá ir pelas regras de derivação. É se ela não for continua e nos pedirem para calcular a derivada nesse ponto. Muito obrigado.

 

[stonner]

a primeira derivada de uma função usa-se para saber se a função é crescente ou decrescente. assim consegues saber os máximos e os mínimos. a segunda derivada usa-se para encontrar o vértice da função e saber para que lado está a concavidade. se é positiva ou negativa

Se eu ainda não soubesse isso estava bem tramado[][]

 

[ElGamal]

Exactamente bem me parecia que havia um caso em que não se podia lá ir pelas regras de derivação. É se ela não for continua e nos pedirem para calcular a derivada nesse ponto. Muito obrigado.

um reparo: se não é contínua então não tem derivada. no exemplo que escrevi, a função é contínua em IR. e é derivável em IR.
derivável implica contínua. logo não contínua implica não derivável.

cuidado que contínua não implica derivável. é o que acontece nas funções que têm um bico. como g(x)=|x| (valor absoluto de x). tem um bico em 0.

 

[Cheires]

um reparo: se não é contínua então não tem derivada. no exemplo que escrevi, a função é contínua em IR. e é derivável em IR.
derivável implica contínua. logo não contínua implica não derivável.

cuidado que contínua não implica derivável. é o que acontece nas funções que têm um bico. como g(x)=|x| (valor absoluto de x). tem um bico em 0.

Mas a função módulo é derivável.
para isso basta decompores a função.
-x para x <0, e x para x>0, admite é só uma derivada.

sendo que a sua 1ª derivada é -1 para x<=0 e 1 para x>0.

 

[ElGamal]

Mas a função módulo é derivável.
para isso basta decompores a função.
-x para x <0, e x para x>0, admite é só uma derivada.

sendo que a sua 1ª derivada é -1 para x<=0 e 1 para x>0.

não, não é, pelo menos em IR.
é derivável em IR\{0}, com os valores que indicaste.
mas em 0 não é derivável.

a função módulo é uma função definida por ramos como |x|= x se x>=0 e =-x se x<0

pode-se aplicar a regra de derivação no interior dos ramos (x<0 e x>0)
mas em x=0 tem que se ir pela definição, e a derivada à esquerda difere da da direita de 0. a derivada em x=0 não existe.

numa forma ingénua, numa função definida num intervalo a diferenciabilidade corresponde a uma suavidade do gráfico, sem bicos.

 

[Cheires]

não, não é, pelo menos em IR.
é derivável em IR\{0}, com os valores que indicaste.
mas em 0 não é derivável.

a função módulo é uma função definida por ramos como |x|= x se x>=0 e =-x se x<0

pode-se aplicar a regra de derivação no interior dos ramos (x<0 e x>0)
mas em x=0 tem que se ir pela definição, e a derivada à esquerda difere da da direita de 0. a derivada em x=0 não existe.

numa forma ingénua, numa função definida num intervalo a diferenciabilidade corresponde a uma suavidade do gráfico, sem bicos.

Isso depende de como a função está definida.
Para ser uma função continua, tens que igualar um dos ramos a 0, logo a sua derivada em 0 irá depender do ramo a que igualaste a função. Por isso igualei um dos ramos da função a 0. Como tu defines a função (x<0 e x>0 (e assim não representa a função |x|) ), a função fica descontinua, sendo esse ponto de descontinuidade x=0, e aí sim, a função não admite derivada no ponto 0.

 

[ElGamal]

Isso depende de como a função está definida.
Para ser uma função continua, tens que igualar um dos ramos a 0, logo a sua derivada em 0 irá depender do ramo a que igualaste a função. Por isso igualei um dos ramos da função a 0. Como tu defines a função (x<0 e x>0 (e assim não representa a função |x|) ), a função fica descontinua, sendo esse ponto de descontinuidade x=0, e aí sim, a função não admite derivada no ponto 0.

revê como defini a função |x| por ramos: foi para todo o valor de IR.

a função |x| nunca é derivável em x=0 porque a derivada lateral à esquerda em 0 é -1 enquanto que à direita de 0 é 1.

outra coisa: considera f:IR\{0} -> IR como f(x)=|x|. esta função é diferenciável no seu domínio. e é contínua no seu domínio. o que contradiz

Como tu defines a função (x<0 e x>0 (e assim não representa a função |x|) ), a função fica descontinua, sendo esse ponto de descontinuidade x=0, e aí sim, a função não admite derivada no ponto 0.

outro exemplo: 1/x é contínua no deu domínio.

 

[Avantgarde220]

Tu podes ir sempre pelas regras da derivação

Excepto que te digam no exercicio que tens de "utilizar a definição de derivada" que ai vais ter de fazer a formula do X ou do H como eu chamo àquilo..

 

[stonner]

um reparo: se não é contínua então não tem derivada. no exemplo que escrevi, a função é contínua em IR. e é derivável em IR.
derivável implica contínua. logo não contínua implica não derivável.

cuidado que contínua não implica derivável. é o que acontece nas funções que têm um bico. como g(x)=|x| (valor absoluto de x). tem um bico em 0.

Então mas para provar que ela não tem derivada nesse ponto não é suficiente justificar que a derivada à esquerda e à direita desse ponto são diferentes?

Podes me dar um exemplo de uma função em que se tenha que justificar que ela não tem derivada pela definição, por favor?

Já agora na função módulo é x>=0 ou x<=0?




Eu sei que isto são tudo pormenores e muito provavelmente isto não deve sair mas eu gosto de perceber tudo ao mais ínfimo pormenor, e se não consigo entender isto já não durmo bem. Não sou nerd sou apenas curioso

 

[mjm]

Outro tipo de exercício, normalmente pedido nas aulas e não no exame nacional é:

Pedir para calculares a derivada de qualquer função num determinado ponto usando a definição de derivada, em lugar de usar a expressão algébrica da função derivada.

Por exemplo, qual a derivada de x^2, para x=3...

 

[mjm]

Então mas para provar que ela não tem derivada nesse ponto não é suficiente justificar que a derivada à esquerda e à direita desse ponto são diferentes?

Para provar que existe derivada num ponto, temos que concluir que existe limite pela definição de derivada...
Caso seja necessário definir a função por ramos, o limite à esquerda e à direita têm de existir e ser iguais, em todos os pontos...

Podes me dar um exemplo de uma função em que se tenha que justificar que ela não tem derivada pela definição, por favor?

Já agora na função módulo é x>=0 ou x<=0?

Por exemplo a função módulo, justifica que não tem derivada quando x=0...

Neste caso, da função módulo, x<=0 ou x>=0, é indiferente, pois para x=0, o valor é zero em qualquer caso...

Com a definição, concluis que o limite à esquerda é -1 e o limite à direita é 1, logo nao existe derivada em x=0

Eu sei que isto são tudo pormenores e muito provavelmente isto não deve sair mas eu gosto de perceber tudo ao mais ínfimo pormenor, e se não consigo entender isto já não durmo bem. Não sou nerd sou apenas curioso

Conselho, acho muito bem que queiras saber o porquê das coisas, pois simplifica muito a sua aprendizagem, mas na maioria das coisas, primeiro aplicamos o que nos foi dito e só mais tarde percebemos o seu porquê...

Isto para te dizer, que por vezes querer saber os pormenores só complica... e neste caso se dormes mal, como dizes, tenta não te preocupar no porquê, mas sim no como se faz...[]

 

[mjm]

Isso depende de como a função está definida.
Para ser uma função continua, tens que igualar um dos ramos a 0, logo a sua derivada em 0 irá depender do ramo a que igualaste a função. Por isso igualei um dos ramos da função a 0. Como tu defines a função (x<0 e x>0 (e assim não representa a função |x|) ), a função fica descontinua, sendo esse ponto de descontinuidade x=0, e aí sim, a função não admite derivada no ponto 0.

Porquê o zero?!

Uma função pode ser descontinua em todos os pontos do seu domínio, exemplo: